Uma aproximação assimptótica do fluxo de stokes de um fluido incompressível em um tubo fino

Abstract

Neste trabalho, desenvolvemos uma abordagem sobre a aproximação assimptótica do fluxo de um fluido newtoniano e incompressível no interior de um tubo fino recto com secção transversal circular variável. Primeiramente, definimos de forma precisa a geometria do tubo fino como um domínio fino Ω ε no espaço tridimensional, onde ε é um pequeno parâmetro relacionado à geometria do domínio. A fronteira do nosso domínio é composta por duas partes disjuntas: Γ εD (fronteira de Dirichlet), que representa a superfície lateral do tubo, e Γ εN (fronteira de Neumann), que representa as extremidades do tubo. Além disso, assumimos que o fluxo é esta- cionário. Partindo das equações de Navier-Stokes juntamente com a equação de continuidade e assumindo que o parâmetro ε é muito pequeno, deduzimos o modelo que descreve matematica- mente o fluxo de um fluido newtoniano e incompressível no domínio Ω ε na ausência de forças de corpo, conhecido como o sistema estacionário de Stokes. Para descrever completamente o nosso problema, consideramos que o fluxo é impulsionado por uma pressão externa que actua como força de superfície nas extremidades do tubo. Especificamente, associamos ao sistema de Stokes duas condições de fronteira: condição de tensão normal na fronteira de Neumann (modelada como uma zona de entrada/saída onde é aplicado um gradiente de pressão como forças de superfície) e uma condição de fronteira de Dirichlet homogénea para o campo de velocidade na parte restante da fronteira. Dessa forma, formulamos um problema de fronteira com condições de fronteira mistas, que é o foco principal deste estudo. Para construir a solução aproximada deste problema, utilizamos o chamado método formal de expansão assimptótica, que consiste em expressar a solução como uma série de potências do pequeno parâmetro ε. No processo de implementação das etapas do método de expansão assimptótica, utilizamos diversas ferramentas de análise matemática e da teoria clássica de equações diferenciais, como o teorema de divergência, técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, e teoremas de existência e unicidade da solução para os problemas de Dirichlet e Neumann para a equação de Poisson. Como resultado principal, obtivemos uma forma generalizada da lei de Poiseuille para o termo de ordem zero da velocidade. Além disso, a aproximação obtida satisfaz a condição de fronteira de Dirichlet e conserva o volume.